判别一个矩阵S是否是正定矩阵,以下是五个充要条件
所有特征值大于0Energy:
x
T
S
x
x^TSx
xTSx大于0(x≠0)
S
=
A
T
A
S=A^TA
S=ATA (A各列独立)各阶行列式大于0, n阶行列式指的是前面n行n列的行列式主元(pivots)大于0
给随便一个矩阵,这里面最容易的方法就是找主元,然后看看是不是都大于0 如果要快速判断,可以看看对角元素加起来是不是大于0,因为特征值的和就是迹,也就是对角元素的和,如果是正定矩阵,那么特征值都正,那么迹自然也是正的,反之如果迹是负的,那一定不是正定.不过两个方法不是充要条件,所以不能判断另一种情况
这些都是充要条件,满足一个就满足其他,都能得出矩阵是正定矩阵
几个用法的例子 S和T正定,那么S+T也是正定的 因为
x
T
(
S
+
T
)
x
=
x
T
S
x
+
x
T
T
x
x^T(S+T)x=x^TSx+x^TTx
xT(S+T)x=xTSx+xTTx 因为S,T都是正定所以后面两项也都是大于0,最后加起来还是大于0
S正定,那么
S
−
1
S^{-1}
S−1也是正定的 因为
S
−
1
S^{-1}
S−1的特征值是原本的倒数. 由于S正定,所以原本特征值都大于0,那么它们的倒数也都大于0
S
S
S正定,
Q
T
S
Q
Q^TSQ
QTSQ也正定
Q
T
S
Q
的能量函数是
:
x
T
Q
T
S
Q
x
=
y
T
S
y
Q^TSQ 的能量函数是:x^TQ^TSQx=y^TSy
QTSQ的能量函数是:xTQTSQx=yTSy 因为x和y都是任意非0向量,所以它们从集合的角度来看等价的.
x
T
S
x
等价于
y
T
S
y
x^TSx等价于y^TSy
xTSx等价于yTSy,一个都大于0,另一个也都大于0